신호와 스펙트럼 - 랜덤 신호(Random Signal)

랜덤 신호 학습의 필요성

- 실제 메시지 신호들은 대부분 랜덤한 특성을 보임

- 전기적 노이즈도 랜덤한 특성을 가짐

따라서 통신 시스템을 설계하고 분석하기 위해서는 랜덤 신호의 이해가 필수적

 

누적분포함수 (CDF: Cumulative Distribution Function)

• 정의: FX(x) = P(X ≤ x)
• 특성
  • 0 ≤ FX(x) ≤ 1
  • x가 증가할 때 FX(x)도 증가
  • x→-∞일 때 FX(x)=0, x→∞일 때 FX(x)=1
  • P(x1 < X ≤ x2) = FX(x2) - FX(x1)

확률밀도함수 (PDF: Probability Density Function)

• 정의: pX(x) = dFX(x)/dx
• 특성
  • pX(x) ≥ 0 (항상 양수)
  • ∫pX(x)dx = 1 (전체 확률의 합은 1)
  • P(x1 < X ≤ x2) = ∫x1→x2 pX(x)dx

앙상블 평균 (Ensemble Average)

• 평균값 (Mean Value)
  • mX = E{X} = ∫xpX(x)dx
• n차 모멘트
  • E{X^n} = ∫xnpX(x)dx
• 평균 제곱값:
  • E{X^2} = ∫(x^2)pX(x)dx

분산 (Variance)

• 정의 : var(X) = E{(X - mX)^2}
• 계산 : σX^2 = ∫((x - mX)^2)pX(x)dx
• 표준편차 : σX (분산의 제곱근)
• 분산 전개
  • E{(X - mX)^2} = E{X^2 - 2XmX + mX^2}
  • = E{X^2} - 2mXE{X} + mX^2
  • = E{X^2} - mX^2

앙상블 (Ensemble)은 모든 가능한 표본 함수들의 집합

• 통계적 특성을 분석하기 위한 전체 집합을 의미

랜덤 프로세스의 통계적 평균

 

1. 통계적 평균의 중요성

• 평균과 자기상관함수는 통신 시스템 설계에서 매우 중요한 파라미터이다.
• 랜덤 프로세스 X(t)의 평균: 전체적인 신호 레벨을 나타냄
• 자기상관함수 : 동일한 랜덤 프로세스의 두 샘플 간의 상관관계를 측정

정상성 (Stationarity)

A. 엄격한 의미의 정상 과정 (Strict-sense Stationary)

• 모든 통계적 특성이 시간 이동에 영향을 받지 않음
• 수식: F(x1,x2,...,xn) = F(x1+τ,x2+τ,...,xn+τ)

B. 광의의 정상 과정 (Wide-sense Stationary, WSS)

• 평균과 자기상관함수만이 시간 이동에 불변
• 엄격한 의미의 정상성은 WSS라 할 수 있지만, 그 역은 성립하지 않음 (Strict-sense startionary implies wise-sense stationary, but not vice versa)

자기상관함수 (Autocorrelation Function)

• 정의: RX(τ) = E{X(t)X(t+τ)}
• 특성
  • 시간차 τ에 대해 대칭적
  • 원점에서 최대값 발생
  • 파워 스펙트럼 밀도와 푸리에 변환 쌍을 형성
  • 원점에서의 값은 신호의 평균 전력과 같음

시간 평균과 에르고딕성 (Ergodicity)

• 에르고딕 프로세스의 특징
  
  • 임의의 process의 모든 샘플 함수가 동일한 통계적 특성을 가짐
  • 시간 평균 = 앙상블 평균
• 전제조건: 엄격한 의미의 정상성(Strict-sense Stationary)을 만족해야 함
  • 평균에 대한 에르고딕성
    • mX = lim(T→∞) 1/T ∫[-T/2 to T/2] X(t)dt
    • 의미: 시간 평균이 앙상블 평균과 같아야 함
    • 특징
      • 충분히 긴 시간 동안의 시간 평균을 구함
      • 단일 샘플 함수만으로도 프로세스의 평균값을 알 수 있음
      • T가 무한대로 갈 때의 극한값으로 정의
  • 자기상관함수에 대한 에르고딕성
    • RX(τ) = lim(T→∞) 1/T ∫[-T/2 to T/2] X(t)X(t+τ)dt
    • 의미: 시간 영역에서의 자기상관이 앙상블 자기상관과 같아야 함
    • 특징:
      • τ는 시간 지연(time lag)을 나타냄
      • 단일 샘플 함수의 시간 평균으로 자기상관 특성을 파악 가능
      • 시간 지연에 따른 신호의 유사성을 측정
• 에르고딕성의 실제적 의미
  • 샘플링 효율성
    • 하나의 샘플 함수만으로도 전체 프로세스의 통계적 특성 파악 가능
    • 많은 샘플을 수집할 필요가 없음
  • 실용적 장점
    • 측정과 분석이 간단해짐
    • 시스템 설계와 성능 예측이 용이

 

전력 스펙트럼 밀도 (Power Spectral Density, PSD)

 

파워 스펙트럼 밀도(PSD)의 기본 개념

- 주파수 도메인에서 신호의 전력이 어떻게 분포되어 있는지를 보여줌

- 알려진 주파수 특성을 가진 네트워크를 통과하는 신호의 전력를 평가할 수 있게 해줌

 

PSD의 주요 특성

- GX(f) ≥ 0 (항상 양의 실수 값)

- GX(f) = GX(-f) (우함수)

- PSD와 자기상관함수는 푸리에 변환 쌍을 이룸 (실수값 신호일때)

- 평균 정규화된 전력(파워)은 PSD를 적분한 값과 같음: Px = ∫Gx(f)df

 

WSS(Wide Sense Stationary) 랜덤 프로세스의 파형 분석

• WSS 랜덤 프로세스의 단일 샘플 파형은 양극성(bipolar) 펄스로 구성된 이진 랜덤 시퀀스
• 각 펄스의 진폭은 +1 또는 -1이며, 양의 펄스와 음의 펄스가 동일한 확률(0.5)로 발생
• 각 이진 디지트(비트)의 지속 시간은 T초이며, 랜덤 시퀀스의 평균 DC 값은 0
• DC 값 => 신호의 평균값: (+1 × 0.5) + (-1 × 0.5) = 0 (순수하게 AC 성분만으로 구성되었다는 의미)
• 자기상관 함수 Rx(τ)를 구하기 위해, 원래 시퀀스 X(t)와 시간 τ만큼 이동된 시퀀스 X(t+τ)의 곱의 평균값을 계산

 

시간 이동된 시퀀스

• 초기 시퀀스를 X(t) 라 할 때, 동일한 시퀀스를 τ1초만큼 시간 이동시킨 시퀀스는 X(t-τ1)이다.
• 자기상관함수 계산
  • X(t)가 자기상관함수에 대해 에르고딕(ergodic)하다고 가정하면
    앙상블 평균 대신 시간 평균을 사용하여 Rx(τ)를 구할 수 있다.
    Rx(τ1)은 두 시퀀스 X(t)와 X(t-τ1)의 곱을 구한 후 그 평균값을 찾아 얻는다.

단일 샘플 시퀀스를 이용한 계산

• 단일 샘플 시퀀스와 시간 이동된 복제본을 사용
• X(t)*X(t-τ1) 곱의 그래프에서 빗금 영역은 양의 값, 회색 영역은 음의 값을 나타냄

 

이진 펄스 랜덤 시퀀스의 자기상관함수 일반적 표현

• Rx(τ) = {
      1 - |τ|/T  (|τ| < T),
      0          (|τ| ≥ T)
  }
  (T: 펄스 지속 시간)

• 자기상관함수의 모양은 신호의 대역폭 정보를 제공
• 천천히 변화하는 신호(좁은 대역폭): 완만한 기울기
• 빠르게 변화하는 신호(넓은 대역폭): 가파른 기울기

파워 스펙트럼 밀도(PSD)

• 정의: 주파수에 따른 신호 파워의 분포를 나타냄
• 랜덤 이진 펄스 시퀀스의 수학적 표현
  • G_X(f) = T(sin(πfT)/(πfT))² = T·sinc²(fT)
    (sinc(x) = sin(πx)/(πx))
• 주요 특성
  
  • PSD와 자기상관함수는 푸리에 변환 쌍을 형성
  • PSD 곡선 아래 면적은 신호의 평균 파워
  • 신호의 대역폭은 펄스 폭(T)과 반비례 관계

Low bit rate와 High bit rate 상황에서의 랜덤 이진 시퀀스의 특성 비교

 

1. X(t) - Random binary sequence 

• 낮은 비트율: 긴 펄스 폭(T)을 가진 이진 신호
• 높은 비트율: 짧은 펄스 폭(T)을 가진 이진 신호
• 두 경우 모두 +1과 -1 사이를 오가는 이진값을 가짐
• mx는 DC 값을 나타냄

2. X(t-τ₁) - 시간 지연된 신호

• 원본 신호를 τ₁만큼 시간 지연시킨 형태
• 낮은 비트율: 지연 시간이 펄스 폭보다 작음 (τ₁ < T)
• 높은 비트율: 지연 시간이 펄스 폭과 같음 (τ₁ = T), 동일하게 τ₁만큼 지연되지만, 주기가 짧아 더 빈번하게 변화함

3. Rx(τ₁) - 자기상관함수 계산

• 수식: Rx(τ₁) = lim(T→∞) 1/T ∫X(t)X(t-τ₁)dt
• 원본 신호와 지연된 신호의 곱의 평균을 계산
• 음영 처리된 영역은 양의 상관관계를 나타냄
• m²x는 DC 전력을 나타냄
• 낮은 비트율 (τ₁ < T)의 경우
  • 펄스 폭(T)이 상대적으로 큼
  • 원본 신호와 지연된 신호가 상당 부분 겹치게 됨
  • 이로 인해 두 신호의 곱(X(t)×X(t-τ₁))이 대부분 양의 값을 가짐
  • 결과적으로 자기상관 함수가 양의 값을 가짐
  • 이는 신호가 천천히 변화하여 연속된 샘플 간의 상관관계가 높다는 것을 의미
• 높은 비트율 (τ₁ = T)의 경우
  • 펄스 폭(T)이 상대적으로 작음
  • 원본 신호와 지연된 신호가 정확히 한 펄스 폭만큼 어긋남
  • 두 신호의 겹침이 최소화
  • 자기상관 함수가 0에 가까운 값을 가짐
  • 이는 신호가 빠르게 변화하여 연속된 샘플 간의 상관관계가 낮다는 것을 의미 

4. Rx(τ) - 자기상관함수 그래프

• 수식: Rx(τ) = 1-|τ|/T (|τ|≤T), 0 (|τ|>T)
• 낮은 비트율: 삼각형 모양의 완만한 기울기
• 높은 비트율: 날카로운 삼각형 모양 
• Rx(0)는 총 평균 전력을 나타냄
• Rx(τ₁)는 시간 지연 τ₁에서의 상관값을 나타냄

5. Gx(f) - 파워 스펙트럼 밀도

• 수식: Gx(f) = T(sin(πfT)/(πfT))² = Tsinc²ft
• 낮은 비트율(긴 비트 주기 T):
  • 좁은 주파수 대역에 집중된 전력 분포
  • 메인 로브가 작고 좁음
  • 필요 대역폭 감소
• 높은 비트율(짧은 비트 주기 T):
  • 넓은 주파수 대역에 분산된 전력 분포
  • 메인 로브가 크고 넓음
  • 큰 대역폭 필요

Side Lobes의 특성

• 첫 번째 side lobe: main lobe 대비 약 -13dB
• 추가 side lobe들은 점차 감소
• Side lobe들은 인접 채널 간섭의 원인이 될 수 있음

실제 응용에서의 의미

• 통신 시스템 설계
  • 대역폭 효율성과 비트율 사이의 트레이드오프 고려 필요
  • 필터 설계 시 main lobe 보존과 side lobe 제거 균형 필요
• 간섭 관리
  • 인접 채널 간섭을 줄이기 위한 필터링 필요
  • 대역폭 제한을 고려한 비트율 선택
• 시스템 성능
  • 신호 대 잡음비(SNR) 고려
  • 비트 오류율(BER) 최적화

주파수 영역과 시간 영역의 관계

• 시간 영역에서 긴 펄스 → 주파수 영역에서 좁은 스펙트럼 (Low bit rate)
• 시간 영역에서 짧은 펄스 → 주파수 영역에서 넓은 스펙트럼 (High bit rate)
  
  
  

통신 시스템에서의 잡음(Noise)

잡음의 정의와 특성

• 잡음 : 전기 시스템에 항상 존재하는 원치 않는 전기 신호
• 모든 전자 시스템에서 완전히 제거할 수 없는 필연적인 현상이다.

잡음의 주요 발생원

1) 인공적 잡음 (Man-made noise)

• 자동차 점화 플러그
• 전기 스위치의 개폐 동작
• 각종 전자기기에서 방출되는 전자기 신호

2) 자연적 잡음 (Natural noise)

• 대기권에서 발생하는 잡음
• 태양에서 발생하는 전자기파
• 은하계 등 우주에서 오는 전자기 신호
• 열잡음(Thermal noise) 또는 존슨 잡음(Johnson noise) (완전히 제거가 불가능한 잡음)

잡음 제거 방법

• 필터링(Filtering): 원하는 주파수 대역만 통과시키고 나머지는 차단
• 차폐(Shielding): 외부 전자기파를 물리적으로 차단
• 적절한 변조방식 선택
• 최적의 수신기 설치 위치 선정

 

열잡음(Thermal noise)의 수학적 특성

• 열잡음은 평균이 0인 가우시안 랜덤 프로세스이다.
• 가우시안 확률밀도함수의 특징
  • 평균이 0이고 분산이 1일 때, 표준화된 가우시안 밀도함수 : 
    • p(n) = (1/√(2π)) * exp(-n²/2)

DC 신호와 가우시안 잡음이 결합된 랜덤 신호

• z = a + n일 때 (a는 DC 신호, n은 잡음)
• z의 확률밀도함수 :
  • p(z) = (1/√(2π)) * exp(-(z-a)²/2)

중심극한 정리 (Central Limit Theorem)

• 통계적으로 독립적인 j개의 변수들의 합은 j가 충분히 클 때 가우시안 분포에 근접하게 된다.
• 수학적 표현: Y = X₁ + X₂ + X₃ + ... + Xⱼ

 

열잡음의 스펙트럼 특성

• 모든 주파수 대역에서 동일한 전력 스펙트럼 밀도를 가짐

백색 잡음(White Noise)의 정의

• 주파수에 따라 잡음 전력이 균일한 스펙트럼밀도를 가지는 잡음
• 백색 잡음의 전력 스펙트럼 밀도 : Gn(f) = N₀/2 (watts/hertz)

백색 잡음의 주요 특성

• 백색잡음의 자기상관함수(Autocorrelation function)
  • Rn(τ) = (N₀/2)δ(τ)

• 무한대의 평균 전력을 가짐
  • P = ∫(-∞ to ∞) (N₀/2)df = ∞
• 서로 다른 시간에서의 샘플들은 비상관(uncorrelated)됨
• 가우시안 프로세스이므로, 비상관된 샘플들은 또한 독립적임

AWGN (Additive White Gaussian Noise)의 특징

• 전송된 각 심볼에 독립적으로 영향을 미침
• 통신 시스템에서 가장 기본적인 잡음 모델로 사용됨
• 주요 특성
  • 가산성: 신호에 더해지는 형태로 영향을 미침
  • 백색성: 모든 주파수에서 균일한 전력 스펙트럼 밀도
  • 가우시안: 정규분포를 따르는 확률 분포

실제 응용에서의 의미

• 이론적으로 백색 잡음은 무한대의 전력을 가지지만, 실제 시스템에서는 유한한 대역폭 내에서만 고려됨
• 통신 시스템 설계 시 AWGN 모델을 기반으로 한 성능 분석이 광범위하게 사용됨
• 각 샘플이 독립적이라는 특성은 디지털 통신에서 심볼 간 간섭(ISI) 분석에 중요한 역할을 함

 

참고 자료 : 

https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_density#Power_spectral_density

Spectral density - Wikipedia

https://www.crystalinstruments.com/dynamic-signal-analysis-basics

Dynamic Signal Analysis Basics