푸리에 변환(Fourier transform)

 디지털 통신에서 푸리에 변환은 신호를 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환하여 신호의 주파수 성분을 분석하는 수학적 도구이다. 

주기신호

주기신호는 일정한 시간 간격마다 반복되는 신호를 말한다. 이러한 신호는 주기 T를 가지며, 주파수 f =1 / T 로 표현된다. 주기신호의 푸리에 변환은 주파수 스펙트럼이 이산적인 주파수 성분으로 구성된다.

• 대표적인 주기신호 : sin, cos파
• 주기신호는 푸리에 급수(Fourier Series)를 사용하여 표현할 수 있음

비주기신호

비주기신호는 일정한 주기를 가지지 않고, 무한히 지속되거나 유한한 기간 동안만 존재하는 신호이다. 이러한 신호의 푸리에 변환은 연속적인 주파수 스펙트럼을 가진다.

• 임펄스 신호, 잡음, 단발성 신호 등이 비주기신호에 속함
• 비주기신호는 푸리에 적분(Fourier Integral)을 통해 표현됨

푸리에 변환의 주요 특성

1. 선형성 (Linearity)

• 두 개의 신호를 더하고 푸리에 변환을 하면, 각각의 푸리에 변환을 더한 것과 같음
• 수식으로는 F{af(t) + bg(t)} = aF{f(t)} + bF{g(t)}
• 예시: 사인파와 코사인파를 더한 신호의 푸리에 변환은 각각의 푸리에 변환을 더한 것과 동일함

2. 시간 이동 (Time Shift)

• 시간 영역에서 신호가 이동하면 주파수 영역에서는 위상만 변화함
• 시간 t0만큼 이동하면 F{f(t-t0)} = F(ω)e^(-jωt0) 임
• 시간 지연은 위상 지연을 초래함
• 신호의 크기 스펙트럼은 변하지 않음

3. 주파수 이동 (Frequency Shift)

• 시간 영역에서 복소 지수함수를 곱하면 주파수 영역에서 이동이 발생함
• F{f(t)e^(jω0t)} = F(ω-ω0)로 표현됨
• 변조(modulation)에서 중요한 역할을 함

4. 비례성 (Scaling)

• 시간 영역에서의 압축/팽창은 주파수 영역에서 반대로 작용함
• a가 시간 스케일링 계수일 때, F{f(at)} = (1/|a|)F(ω/a)
• 시간 축에서 압축되면 주파수 축에서는 팽창됨
• 반대로 시간 축에서 팽창되면 주파수 축에서는 압축됨

5. 컨볼루션 (Convolution)

• 시간 영역의 컨볼루션은 주파수 영역의 곱셈과 같음
• F{f(t) * g(t)} = F(ω)G(ω)
• 시스템의 임펄스 응답과 입력 신호의 컨볼루션을 계산할 때 유용함
• 필터 설계에서 매우 중요한 특성임

6. 곱셈 (Multiplication)

• 시간 영역의 곱셈은 주파수 영역의 컨볼루션과 같음
• F{f(t)g(t)} = (1/2π)F(ω) * G(ω)
• AM 변조나 윈도우 함수 적용 시 중요함
• 주파수 스펙트럼이 더 복잡해지는 특징이 있음

더 자세한 내용은 아래의 자료들로 학습하였는데 내용이 방대해 시간상 정리는 생략.

 

 

 

참고 자료 :

푸리에 변환 기초 개념

https://www.youtube.com/watch?v=YsG8fJsH9JE&t=3s

e^it와 복소 평면 

https://www.youtube.com/watch?v=ujHat6veADE

푸리에 변환 공식

https://www.youtube.com/watch?v=Mc9PHZ3H36M 

푸리에 변환 설명

https://www.youtube.com/watch?v=G74t5az6PLo&list=PLx7-Q20A1VYJlVLBCkuOBoBnaUdd5Qyms

푸리에 급수, 오일러 공식 및 푸리에 변환 원리

https://www.youtube.com/playlist?list=PLEGnaIwMq6ozCqLEM_rEGxvZqqDi63omB 

 

시간이 충분하다면 아래 링크 강의를 들어보는 것을 적극 추천(시험 전날에야 이 강의를 알게된게 너무 아쉽다ㅜ)

https://www.iaincollings.com/signals-and-systems