신호와 스펙트럼 - 에너지 신호의 자기 상관 함수

자기 상관 (Autocorrelation)

한 신호와 그 신호를 τ 만큼 시간 지연시킨 신호를 매칭시키는 과정, 실수 값을 갖는 에너지 신호의 자기 상관 함수

신호와 τ 만큼 시간 지연된 신호의 곱의 적분

 

자기상관함수의 기본 개념

- 신호가 시간차 τ만큼 이동된 자신의 복사본과 얼마나 유사한지를 측정하는 함수

- 시간 t의 함수가 아닌, 시간 차이 τ의 함수

- 원 신호와 이동된 신호 사이의 시간 차이(τ)에만 의존

 

주요 특성 (Properties)

1) 대칭성 (Symmetry) : 자신의 복사본과 겹치는 면적이므로, 중간지점(완전히 겹치는 지점 τ=0)부터 x 축대칭

- Rx(τ) = Rx(-τ)

- 시간 지연이 양수이든 음수이든 같은 결과를 보임

2) 최대값 특성

- Rx(0) ≥ Rx(τ) for all τ

- τ = 0일 때 최대값을 가짐

-  Rx(τ) 최대 값을 가질 때, 자기 자신과 가장 잘 일치함을 의미

 

주기적 전력 신호의 자기상관함수 

- 주기 T₀를 가진 주기적 신호의 경우

- 에너지 신호의 특성과 유사한 속성을 가짐

 

주기 신호의 경우

T₀ : 신호의 주기

적분 구간이 한 주기로 제한됨

 

 

파워 스펙트럼과의 관계

- 자기상관함수의 푸리에 변환은 파워 스펙트럼

- Rx(τ) ↔ Gx(f) (푸리에 변환 쌍)

- 이를 통해 주파수 영역 분석 가능

 

실제 응용

- 주기적 신호의 특성 분석

- 통신 시스템에서의 신호 검출

- 잡음 분석

- 신호의 주기성 확인