신호와 스펙트럼 - 선형시스템을 통한 신호 전송

선형 시스템의 기본 특성

1) 선형성 (Linearity)

• 수학적 표현: x₁(t) → y₁(t), x₂(t) → y₂(t)일 때 ax₁(t) + bx₂(t) → ay₁(t) + by₂(t)
• 중첩의 원리가 적용됨
• 입력 신호들의 선형 결합은 출력 신호들의 동일한 선형 결합과 대응

2) 시불변성 (Time-Invariance)

• 입력 신호의 시간 지연은 출력 신호의 동일한 시간 지연을 초래
• 시스템의 특성이 시간에 따라 변하지 않음

선형 시스템의 주요 특성

1) 인과성 (Causality)

• 수학적 조건: h(t) = 0 for t < 0
• 현재의 출력은 과거와 현재의 입력에만 의존
• 미래의 입력값은 현재 출력에 영향을 주지 않음
• 인과적 시스템 : y(t) = x(t) + x(t-1) (현재와 과거의 입력만 사용)
• 비인과적 시스템 : y(t) = x(t+1) + x(t) (미래의 입력값이 필요함 => 현실에서 구현 불가능 noncausal)

2) 안정성 (Stability)

• 조건: ∫|h(t)|dt < ∞
• 유한한 입력에 대해 유한한 출력을 생성
• 시스템이 발산하지 않고 안정적으로 동작

선형시스템 입출력 관계

1) 시간 영역

• 입력 신호: x(t)
• 시스템 응답: h(t)
• 출력 신호: y(t)
• 콘볼루션 관계: y(t) = x(t) * h(t)

2) 주파수 영역

• 입력 스펙트럼: X(f)
• 시스템 전달함수: H(f)
• 출력 스펙트럼: Y(f)
• 관계식: Y(f) = X(f)H(f)

임펄스 응답 (Impulse Response)

기본 개념

- 선형 시불변(LTI) 시스템의 특성을 시간 영역에서 완전히 표현

- h(t): 단위 임펄스 δ(t)에 대한 시스템의 응답 y(t) = h(t) = h(t)*δ(t)

- 시스템의 동작을 완전히 특징짓는 함수

 

시스템 응답 계산

• 임의의 입력 x(t)에 대한 출력 y(t)는 콘볼루션으로 표현
• 전체 수식: y(t) = h(t) * x(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ

• 인과적 시스템의 경우: y(t) = ∫₀^∞ x(τ)h(t-τ)dτ
  • h(t-τ) = 0 for (t-τ) < 0
  • 즉, t-τ < 0 일 때 h(t-τ) = 0
  • τ > t 인 경우 h(t-τ) = 0

 

주파수 전달 함수 (Frequency Transfer Function)

기본 특성

• h(t)의 푸리에 변환으로 얻어짐
• H(f): 시스템의 주파수 응답을 나타내는 함수
• Y(f) = X(f)H(f) (주파수 영역에서의 곱셈)

전달 함수의 표현

• 크기와 위상으로 표현: H(f) = |H(f)|e^(jφ(f))
• |H(f)|: 크기 응답

시간 영역과 주파수 영역의 관계

변환 관계

• 시간 영역의 콘볼루션 = 주파수 영역의 곱셈
• F{x(t) * h(t)} = X(f)H(f)
• 역변환: h(t) = F⁻¹{H(f)}

랜덤 과정과 선형 시스템 (Random Process in Linear Systems)

• 선형 시불변(LTI) 시스템의 입력이 랜덤 과정이면, 출력도 랜덤 과정
• Linear Time-Invariant (LTI) system에서는 입력 신호가 random process일 때 출력 신호의 PSD를 알 수 있다.

전력 스펙트럼 밀도 (Power Spectral Density, PSD)

• 입력 PSD: Gx(f)
• 출력 PSD: Gy(f)
• 관계식: Gy(f) = Gx(f)|H(f)|²
• 시스템의 필터링 효과를 보여줌

무왜곡 전송(Distortionless Transmission)

• 신호가 전송될 때 원래 신호의 모양이 변형되지 않고 전달되는 것
• y(t) = Kx(t-t0)
  • K: 신호의 크기를 조절하는 상수
  • t0: 시간 지연을 나타내는 상수
  • 출력 신호는 입력 신호와 동일한 모양을 유지하며, 크기가 K배로 변하고 t0만큼 지연

무왜곡 전송의 조건

• 주파수 영역에서의 전달함수 : H(f) = Ke^(-j2πft0)
• 두 가지 중요한 특성
  1. 크기 응답이 일정: |H(f)| = K (모든 주파수에서 크기 응답이 일정)
  2. 위상이 주파수에 선형적으로 비례 : θ(f) = -2πft0 

엔벨로프 지연(Envelope Delay)

• 정의: τ(f) = -(1/2π)(dθ(f)/df)
• 신호의 지연 왜곡을 측정하는 데 사용
• 무왜곡 전송에서는 모든 주파수에서 일정한 값을 가져야 함, 즉 신호의 모든 주파수 성분이 동일한 시간 지연을 겪음

이상적인 필터(Ideal Filter)

• 무한대의 주파수 대역폭이 필요
• 물리적으로 구현 불가능
• 실제로는 충분히 넓은 유한한 대역폭으로 근사화하여 사용

이상적인 필터 종류

1)대역통과 필터(BPF)

• 특정 주파수 대역만 통과
• fl ≠ 0, fu ≠ ∞

이상적인 BPF

2)저역통과 필터(LPF)

• 낮은 주파수만 통과
• fl = 0, fu = 유한한 값

이상적인 LPF

3) 고역통과 필터(HPF)

• 높은 주파수만 통과
• fl ≠ 0, fu → ∞

이상적인 HPF

 

이상적인 저역통과 필터(LPF)의 특성

• 대역폭(Wf) 내에서 크기 응답이 1
• 대역폭 외에서는 0
• 임펄스 응답: h(t) = 2fu·sinc(2fut)
• 비인과적 시스템 => 실제로 구현 불가능

 

구현 가능한 필터

1. RC 저역통과 필터

• 가장 간단한 형태의 구현 가능한 필터
• 전달함수: H(f) = 1 / (1 + j2πfRC)
• 위상 특성: θ(f) = -tan^(-1)(2πfRC)
• 주요 파라미터(R: 저항값, C: 커패시터 값, RC: 시정수(Time constant))
• 크기 특성: 주파수가 증가함에 따라 신호의 크기가 감소
• 위상 특성: 주파수가 증가함에 따라 위상 지연이 증가

2. 반전력 주파수(Half Power Frequency)

• 출력 신호 전력이 최대 전력의 1/2이 되는 주파수
• 전압 크기는 최대값의 1/√2 (약 0.707)
• -3dB 지점과 일치
• 대역폭 계산(필터의 대역폭, 반전력점, half-power point): Wf = 1/(2πRC)Hz  
• dB 스케일에서의 진폭 응답
• 수식: V(dB) = 20log₁₀|H(f)|

• 진폭 변화를 로그 스케일로 표현
• 시스템 성능 분석에 용이

3. 버터워스 필터(Butterworth Filter)

• 이상적인 저역통과필터에 대한 실용적 근사화
• 전달함수: |H(f)|² = 1 / [1 + (f/fu)²ⁿ], n>=1
• n: 필터 차수 (높을수록 이상적 저역통과 필터에 근접)
• fu: 상측 -3dB 차단주파수

 장점

• 통과대역에서 최대한 평탄한 응답
• 차단 주파수 이후 급격한 감쇠

시간 영역에서의 필터 영향 => 컨볼루션으로 설명

• 입력 신호와 필터 응답
  • 출력 신호: y(t) = h(t) * x(t) (컨볼루션)
  • x(t) : 크기 Vm, 펄스 폭 T, h(t) : 저역통과 RC필터
  • 입력 펄스 대역폭: Wp = 1/T
  • RC 필터 대역폭: Wf = 1/(2πRC)

 

세 가지 주요 케이스

Wp << Wf (T >> 2πRC) - Good-fidelity output 고충실도 출력

• 특징: 입력 신호가 거의 왜곡 없이 전달
• 응용: 정밀한 거리 측정 등 높은 정확도가 필요한 경우

Wp ≈ Wf (T ≈ 2πRC) - Good-recognition ouput 양호한 인식 출력

• 특징: 신호의 기본 특성은 유지되나 일부 왜곡 발생
• 응용: 디지털 통신 시스템

Wp >> Wf (T << 2πRC) - Poor-recognition output 불량한 인식 출력

• 특징: 출력 y(t)에서 입력 펄스를 거의 인식할 수 없음
• 실제 시스템 설계에서는 사용하지 않음

필터 설계 고려사항

• 입력 신호의 대역폭(Wp)이 필터의 대역폭(Wf)보다 훨씬 작을 때(Wp << Wf), 출력 신호는 입력 신호를 잘 보존함 => 정밀한 신호 처리에 적합
• 입력 신호의 대역폭이 필터의 대역폭과 비슷할 때(Wp ≈ Wf), 출력 신호는 여전히 인식 가능하지만 일부 왜곡이 존재함 => 디지털 통신 시스템에서 흔히 사용
• 입력 신호의 대역폭이 필터의 대역폭보다 훨씬 클 때(Wp >> Wf), 출력 신호에서 원래 입력 신호의 특성을 거의 인식할 수 없음 => 실제 시스템 설계에서 피해야함